アサブロ管理画面に温泉ファビコン付いているので、『自分のブログ』にも温泉ファビコンが付いているのかと思いきや、、、ないです。
設定がどこかにある･･･？　いや、見当たりません。

っでも、表示させたいなぁ。。。と思って、Wikipediaを覗いてみると、

(1) ファビコン (Favicon) ファイル形式
　　　ICO 形式 フォーマット以外に GIF 形式 や PNG 形式もサポートされる。
　　　ただし、Internet ExplorerはICO形式しか認識しない。
　　　サイズは、16x16 pixel の画像が無難

(2) ファビコン (Favicon) の指定方法
　　　HTML/XHTML内でFaviconを指定するにはhead要素の中で
　　　link タグにより任意に指定できる。

ということなので、早速、アサブロＴＯＰページのソースを見てみると、
<link rel="SHORTCUT ICON" href="favicon.ico">　となっていて、
管理画面の方は、
<link rel="shortcut icon" href="http://s.asablo.jp/img/favicon.ico" type="image/x-icon" />
となってました。

なぁるほど、『http://』で指定できるところにファビコンファイルを置いて、リンクタグを『HTMLカスタマイズ』の『head要素 閉じタグ直前 ★1』に書けばいいわけですね。

試しに、リンクタグ
<link rel="shortcut icon" href="http://s.asablo.jp/img/favicon.ico" type="image/x-icon" />　を
『HTMLカスタマイズ』の『head要素 閉じタグ直前 ★1』に書いて
『自分のブログ』を見ると、温泉ファビコンが表示されました。
ただ、『エディタで新規作成』画面では表示できないようです。

まぁいいかナ。

独自のファビコンは、URLで指定できるところにアップロードすれば、『http://xxxx』のところを書換えると変更できるので、デザインに合わせて遊べますね。
アサブロだと現在アップロード出来るファイルは画像データ（gif、jpg、png形式）のみと『Q&A』にあるので、アップロード出来るHPがない場合、IEは切捨ててGIF 形式 や PNG 形式でつくって楽しむしかなさそうです。

ちなみにPNG 形式で、Firefox (v17.0.1)とSafari (v6.0.2)は表示されましたが、IE (v9)はやはり表示されませんでした。
たかがファビコン、されどファビコン、この際HPサービスに手を広げるもあり？(笑)

【追記】2014年5月6日

　久々に、IEでも使ってみようと、IE(v11) で開いてみたら、

　あれっっっ！　PNG形式のファビコンが表示されてます。

√ ちょこっとカスタマイズ-フォント
√ アサブロのエディタ画面でhtmlの編集をしてみる